แอนดี้ พีค เกิดที่เมืองมาร์เก็ต ฮาร์โบโรห์ เขาลงเล่นให้กับเลสเตอร์ ซิตี้ ไปทั้งหมด 162 นัด ระหว่างปี 1978 ถึง 1985 ในเดือนกรกฎาคม ปี 1978 ขณะที่มีอายุเพียง 16 ปี เขาได้เซ็นสัญญาเป็นนักเตะเยาวชนของสโมสร และด้วยศักยภาพที่โดดเด่น เขาจึงถูกเรียกติดทีมชุดใหญ่ในบางแมตช์เพื่อให้ได้สัมผัสบรรยากาศจริงของทีมชุดใหญ่
สองเดือนหลังจากวันเกิดอายุครบ 17 ปี ในวันที่ 6 มกราคม 1979 แอนดี้ได้ลงเล่นนัดแรกในฐานะนักเตะเยาวชนที่ได้รับค่าเหนื่อยสัปดาห์ละ 20 ปอนด์ ในเกมพบกับนอริช ซิตี้ และในช่วงปลายเดือนนั้น เขาก็ได้รับสัญญาอาชีพฉบับแรก
ในช่วงเวลานั้นเอง เขาถูกเรียกติดทีมชาติอังกฤษชุดเยาวชน เพื่อไปเล่นกับอิตาลีที่กรุงโรม และต่อมาเขาก็รับใช้ทีมชาติอังกฤษชุดเยาวชนไปทั้งหมด 13 นัด พร้อมกับคว้าแชมป์ยุโรปที่เยอรมนีตะวันออกในปี 1980 รวมทั้งได้ไปเล่นฟุตบอลโลกรุ่นอายุไม่เกิน 20 ปีที่ออสเตรเลียในเดือนตุลาคม ปี 1981 ซึ่งทีมชาติอังกฤษเข้าถึงรอบรองชนะเลิศ
หลังจากเดบิวต์ให้เลสเตอร์ ซิตี้ แอนดี้ก็สามารถยึดตำแหน่งตัวจริงได้ตลอดฤดูกาลนั้น และยกเว้นในช่วงที่บาดเจ็บ เขาก็เป็นผู้เล่นตัวหลักของทีมชุดใหญ่อย่างสม่ำเสมอจนกระทั่งย้ายออกจากสโมสรในปี 1985
เขาเป็นมิดฟิลด์ที่มีสไตล์การเล่นสร้างสรรค์ มองเกมได้ดี จ่ายบอลแม่นยำ และยังสามารถยิงประตูจากระยะไกล ซึ่งล้วนเป็นองค์ประกอบสำคัญที่ช่วยขับเคลื่อนเกมรุกของทีม
ในฤดูกาลที่สองของเขากับทีมชุดใหญ่ เลสเตอร์ ซิตี้ ได้เลื่อนชั้นในฐานะแชมป์ดิวิชันสอง ฤดูกาล 1980/81 และในลีกสูงสุด แอนดี้ก็ยิงประตูสุดสวยใส่ลิเวอร์พูลได้เร็วมาก แต่ 11 วันต่อมา เขากลับได้รับบาดเจ็บขาหักในเกมพบกับเวสต์บรอมวิช อัลเบี้ยน ขณะที่เขากำลังฟอร์มดีสุดๆ ตามคำพูดของเขาเอง
ภายหลังจากกลับมาลงสนามในฤดูกาลนั้น แอนดี้ก็กลับมาเป็นตัวหลักในทีมเลสเตอร์ที่เอาชนะลิเวอร์พูลได้ทั้งสองนัด (เหย้า-เยือน) แต่ทีมของจ็อก วอลเลซ ก็ต้องตกชั้นในปี 1981
ในฤดูกาลถัดมา แอนดี้มีส่วนร่วมในรอบรองชนะเลิศเอฟเอ คัพ ที่พบกับท็อตแน่ม ฮ็อตสเปอร์ และเพียง 4 วันหลังจากนั้น เขาก็ได้ติดทีมชาติอังกฤษชุดอายุต่ำกว่า 21 ปี ลงเล่นพบกับโปแลนด์
ในช่วงปรีซีซั่นถัดมา ซึ่งกอร์ดอน มิลน์ เข้ามาเป็นผู้จัดการทีม แอนดี้ได้รับบาดเจ็บหนักจากการเข้าปะทะด้วยท่า ‘กรรไกร’ ทำให้เอ็นข้อเท้าฉีกและพลาดการลงสนามเกือบทั้งฤดูกาลที่ทีมได้เลื่อนชั้นกลับมาอีกครั้ง
ในเดือนสิงหาคม ปี 1985 หลังจากเล่นในดิวิชันหนึ่งเพิ่มอีก 2 ฤดูกาล แอนดี้ก็ตัดสินใจย้ายไปร่วมทีมกริมสบี้ ทาวน์ ในดิวิชันสอง เนื่องจากเขาถูกขอให้เล่นในรูปแบบที่ไม่สอดคล้องกับสไตล์ที่เขาถนัด ซึ่งเป็นแบบช้าแต่แม่นยำ
ต่อมาเขาได้เล่นในดิวิชันหนึ่งอีก 4 ปี กับชาร์ลตัน แอธเลติก และยังได้เลื่อนชั้นกับมิดเดิลส์โบรห์ เพื่อไปเล่นในฤดูกาลแรกของพรีเมียร์ลีกอีกด้วย